対処法
針を奥まで差しなおして試し縫いしてください。
上記で直らないときは針を交換してください
原因
針がちゃんと奥までセットされていない
奥までちゃんと差し込まれていないと中の部品に当たって折れることがあります。
動かなくなる奥まで差し込んでください。
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生地に対して針が細い

いくら金属製とはいえ、やはり太いものより細いものの方が耐久力は低いです。
厚いデニムやレザーを薄地用の9番の針で縫っていれば、まず間違いなく途中で折れます。
詳しくは針と糸と生地の関係を参考の上、その生地にあった針と交換してください
針先が磨耗している
高速で上下しているミシン針は使用しているうちに先の尖りが鈍くなってきます。
交換の目安はポスポスもしくはプチプチと繊維を切るような音に変わった時です。
針が曲がっている

平らなテーブルの上などに置くとわかりやすいのですが、曲がると写真左のように置いた面に対して並行ではなくなってしまいます。
すると針板などに当たったりして折れてしまいやすくなるのですぐに交換してください。
粘着剤が付いている
粘着テープ類や接着剤でパーツを固定している所を縫うと、針に接着剤が付着して、摩擦が上がり、針が折れることがよくあります。
テープ類の上を縫わないように気をつけたり、針にシリコンを塗って接着剤が付かないようにして塗る。
縫うときに引っ張っている
布を縫うときに後ろ側へ生地を引っ張って縫うクセのある方がいます。
すると当然針に力がかかり折れます。
生地を持つときはあくまでピンと張る程度に持ってください。